Question

27、求證：1+4C_n¹+7C_n²+10C_n³+…+（3n+1）C_nⁿ=（3n+2）•2^n-1．

Answer 1

分析：由題意知本題是一個證明題，在證明過程中，注意觀察所給的等式的左邊的結構特點，出現可以應用倒序相加的運算，再等式兩邊同除以2，得到要證明的結論成立．

解答：證明：設S=1+4C_n¹+7C_n²+10C_n³+…+（3n+1）C_nⁿ，①
則S=（3n+1）C_nⁿ+（3n-2）C_n^n-1+…+4C_n¹+1．②
①②兩式相加，
得2S=（3n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=（3n+2）•2ⁿ，
∴S_n=（3n+2）•2^n-1．

點評：本題考查組合與組合數的公式和性質，要用到等差數列求和公式推導的方法，倒序相加，解題時注意觀察等式的特點，分析清楚題目的發展方向．