Question

已知曲線y=xcosx+1在點(

π

2

，1)處的切線與直線y=ax+1垂直，則實數a=

 

．

Answer 1

分析：求出函數的導函數y′，根據導數的幾何意義，得到曲線f（x）=xcosx+1在點(

π

2

，1)處的切線的斜率，由斜率之積等于-1，即可求得a的值．

解答：解：∵y=xcosx+1，
∴y′=cosx-xsinx，
根據導數的幾何意義，曲線y=xcosx+1在點(

π

2

，1)處的切線的斜率k=cos

π

2

-

π

2

sin

π

2

=0-

π

2

=-

π

2

，
∵曲線y=xcosx+1在點(

π

2

，1)處的切線與直線y=ax+1垂直，
∴-

π

2

×a=-1，
∴a=

2

π

．
故答案為：

2

π

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，直線與直線的位置關系．導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．直線與直線的位置關系主要有相交、平行，本題考查了相交中的特殊情況-垂直，兩條直線垂直，可以運用斜率的乘積等于-1進行求解．屬于中檔題．