Question

已知動點P到直線x=2的距離等于P到圓x²-7x+y²+4=0的切線長，設點P的軌跡為曲線E；
（1）求曲線E的方程；
（2）是否存在一點Q（m，n），過點Q任作一直線與軌跡E交于M、N兩點，點  （

1

|MQ|

，

1

|NQ|

）都在以原點為圓心，定值r為半徑的圓上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），由題意可得，|x-2|=

(x- 7 2 )2+y2- 33 4

整理可得切線E的方程
（2）過點Q任作的直線方程可設為：

x=m+tcosα y=n+tsinα

(α為直線的傾斜角），代入曲線E的方程y²=3x，得（n+tsinα）²=3（m+tcosα），sin²αt²+（2nsinα-3cosα）t+n²-3m=0，由韋達定理得t1+t2=

3cosα-2nsinα

sin2α

，t1t2=

n2-3m

sin2α

，若使得點  （

1

|MQ|

，

1

|NQ|

）在以原點為圓心，定值r為半徑的圓上，則有

1

|MQ|2

+

1

|NQ|2

=

1

t12

+

1

t22

=

t12+t22

(t1t2)2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

9-12nsinαcosα+(2n2+6m-9)sin2α

(n2-3m)2

為定值

解答：解：（1）設P（x，y），圓方程x²-7x+y²+4=0化為標準式：(x-

7

2

)2+y2=

33

4

則有|x-2|=

(x- 7 2 )2+y2- 33 4

∴（x-2）²=x²-7x+y²+4，整理可得y²=3x
∴曲線E的方程為y²=3x．
（2）過點Q任作的直線方程可設為：

x=m+tcosα y=n+tsinα

(α為直線的傾斜角）
代入曲線E的方程y²=3x，得（n+tsinα）²=3（m+tcosα），sin²αt²+（2nsinα-3cosα）t+n²-3m=0
由韋達定理得t1+t2=

3cosα-2nsinα

sin2α

，t1t2=

n2-3m

sin2α

，

1

|MQ|2

+

1

|NQ|2

=

1

t12

+

1

t22

=

t12+t22

(t1t2)2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

( 3cosα-2nsinα sin2α )2-2( n2-3m sin2α )

( n2-3m sin2α )2

=

(3cosα-2nsinα)2-2(n2-3m)sin2α

(n2-3m)2

=

9cos2α-12nsinαcosα+2n2sin2α+6msin2α

(n2-3m)2

═

9-12nsinαcosα+(2n2+6m-9)sin2α

(n2-3m)2

令-12n與2n²+6m-9同時為0
得n=0，m=

3

2

，此時

1

|MQ|2

+

1

|NQ|2

=

4

9

為定值r=

2

3

故存在．

點評：本題主要考查了點到直線的距離公式得應用，直線的參數方程的應用，直線與曲線相交的位置關系及方程思想的應用，解題要求具備一定得推理與運算得能力