Question

對某校高一年級的學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數，恨據此數據作出了如圖所示的頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖：

分組	頻數	頻率
[10，15）	6	0.3
[15，20）	8	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.1
合計	M	1

（I）求出表中M、p及圖中a的值；
（II）學校訣定對參加社區服務的學生進行表彰，對參加活動次數在[25，30）區間的每個學生發放價值80元的學習用品，對參加活動次數在[20，25）區間的每個學生發放價值60元的學習用品，對參加活動次數在[15，20）區間的每個學生發放價值40元的學習用品，對參加活動次數在[10，15）區間的每個學生發放價值20元的學習用品，在所抽取的這M名學生中，任意取出2人，求此二人所獲得學習用品價值之差的絕對值不超過20元的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據頻率的定義列式并解之，可得M=20且n=0.4，再根據各組頻率之和等于1，算出p和m的值，最后根據直方圖的定義可得a的值；
（II）將事件“二人所獲得學習用品價值之差的絕對值不超過20元”分解成兩種情況：“此二人所獲得學習用品價值之差為0元”和“此二人所獲得學習用品價值之差的絕對值為20元”，分別記為事件B、C，再根據組合數公式計算等可能性事件的概率，并結合概率的加法公式，可算出所要求的概率．
解答：解：（Ⅰ）由題意，可知，且，
∴解得M=20，n=0.4，p=1-0.3-0.4-0.1=0.2，m=0.2M=4
故[15，20）組的頻率與組距之比a為0.08．（4分）
（Ⅱ）設“此二人所獲得學習用品價值之差的絕對值不超過20元”為事件A，
包括如下兩類事件：“此二人所獲得學習用品價值之差為0元”，
“此二人所獲得學習用品價值之差的絕對值為20元”，分別記為事件B，C，且事件B、C互斥．
則P（B）==，P（C）==，（10分）
∴P（A）=P（B）+P（C）=+=．
故所抽取的兩人所獲得學習用品價值之差的絕對值不超過20元的概率為．（12分）
點評：本題以頻率分布直方圖為載體，考查了頻率的定義、直方圖的含義和等可能性事件的概率等知識，屬于基礎題．