Question

已知向量 

a

=(2，sinx)，

b

=(sin2x，2cosx)，函數f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的單調增區間；
（II）若在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且滿足：(

2

a-c)cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量 

a

=(2，sinx)，

b

=(sin2x，2cosx)，利用平面向量的數量積公式，我們可以求出函數f（x）=

a

•

b

的解析式，并利用降冪公式（二倍角公式逆用），及輔助角公式，我們可將函數f（x）的解析式化為正弦型函數的形式，進而根據正弦型函數性質，求出f（x）的單調增區間；
（II）由正弦定理的推論--邊角互化，我們可將條件(

2

a-c)cosB=bcosC，化為(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC的形式，進而求出A的取值范圍，結合（I）中所得的正弦型函數的性質，得到f（A）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1…（3分）
當-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z時，
即-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z時，f（x）是單調遞增．…（5分）
所以，f（x）的單調遞增區間是[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得：(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC，

2

sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA
即

2

sinAcosB=sinA…（8分）
由0＜A＜π，sinA≠0得：cosB=

2

2

，又∵0＜B＜π，∴B=

π

4

…（10分）
又A+C=

3π

4

，得：0＜A＜

3π

4

，…（11分）
∵f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)+1，-

π

4

＜2A-

π

4

＜

5π

4

f(A)min＞

2

•(-

2

2

)+1=0，f(A)max=

2

+1
∴f（A）的取值范圍是(0，

2

+1]…（14分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積的運算，兩角和與差的正弦函數，正弦函數的單調性，正弦定理，是三角函數與向量比較綜合性的考查，有一定的難度，其中根據已知條件及向量的數量積公式，結合利用降冪公式（二倍角公式逆用），及輔助角公式，函數f（x）的解析式化為正弦型函數的形式是解答本題的關鍵．