Question

（04年湖北卷理）（12分）

如圖，在棱長為1的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F是棱

CD上的動點.

（I）試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

（II）當D­₁E⊥平面AB₁F時，求二面角C₁―EF―A的大小（結果用反三角函數值表示）.

 

Answer 1

解析：解法一：（I）連結A₁B，則A₁B是D₁E在面ABB₁A；內的射影

    ∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，

       于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

       連結DE，則DE是D₁E在底面ABCD內的射影.

       ∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

       ∵ABCD是正方形，E是BC的中點.

       ∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF，

       即當點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F.…………6分

（II）當D₁E⊥平面AB₁F時，由（I）知點F是CD的中點.

       又已知點E是BC的中點，連結EF，則EF∥BD. 連結AC，

       設AC與EF交于點H，則CH⊥EF，連結C₁H，則CH是

       C₁H在底面ABCD內的射影.

       C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁―EF―C的平面角.

       在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，

       ∴tan∠C₁HC=.

       ∴∠C₁HC=arctan，從而∠AHC₁=.

       故二面角C₁―EF―A的大小為.

       解法二：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（1）設DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），

       A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F（x，1，0）

      

       （1）當D₁E⊥平面AB₁F時，F是CD的中點，又E是BC的中點，連結EF，則EF∥BD. 連結AC，設AC與EF交于點H，則AH⊥EF. 連結C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內的射影.

       ∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁―EF―A的平面角.