Question

（本小題13分）如圖，棱錐的底面是矩形，⊥平面，，

（1）求證：⊥平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求點到平面的距離.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：(方法一)證明：（1）在中，，，

所以為正方形，因此. ∵⊥平面，平面，

∴.又∵, ∴⊥平面.                     ……４分               

（2）解：由⊥平面，知為在平面內的射影，

又,∴,知為二面角的平面角.   

 又∵,∴ .                                      ……９分                                                    

（3）∵，∴，

設到面的距離為，

由，有，                        

即，

得.                                                         ……1４分       

（方法二）證明：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標系，

則、、.

在中，， ,∴，

∴   ∵，

即，又∵, ∴⊥平面.          ……４分               

解：（2）由（Ⅰ）得.

設平面的法向量為，則

即，∴  故平面的法向量可取為                               

∵⊥平面，∴為平面的法向量. 

設二面角的大小為，依題意可得，

∴                                                           ……９分                                                      

（3）由（Ⅰ）得，

設平面的法向量為，

則，即，∴，

故平面的法向量可取為.                             

∵，∴到面的距離為.          ……1４分

考點：本小題主要考查空間中線面垂直的證明、二面角以及點到平面的距離的求法，考查學生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力和運算能力.

點評：解決空間中的平行、垂直以及距離等問題，有傳統方法和向量方法兩種方法，用傳統方法時，要注意緊扣定理，把符合定理的條件都列出來；用向量方法時，運算量較大，要仔細、快速進行.