Question

設數列{a_n}是公差不為零的等差數列，前n項和為S_n，滿足a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7，則使得

am•am+1

am+2

為數列{a_n}中的項的所有正整數m的值為

 

．

Answer 1

分析：根據等差數列的通項公式及前n項和的公式分別化簡已知的兩等式，得到關于首項和公差的兩個方程，聯立兩方程即可求出首項和公差的值，進而得到等差數列的通項公式a_n=2n-7，利用通項公式化簡

am•am+1

am+2

，讓化簡得到的式子等于2n-7，然后設b=2m-3，代入得到到b+6+

8

b

=2n-7，根據

b

8

為偶數且b大于等于-1的奇數，即可得到b的值，利用b的值求出m的值，代入原題檢驗，即可得到滿足題意的m的值．

解答：解：由a₂²+a₃²=a₄²+a₅²得：2a₁+5d=0①，
由S₇=

7(a1+a7)

2

=7a₄=7（a₁+3d）=7，得到a₁+3d=1②，
聯立①②，解得：a₁=-5，d=2，
所以a_n=-5+2（n-1）=2n-7，
根據題意得：

am•am+1

am+2

=

(2m-7)(2m-5)

2m-3

=2n-7，
設2m-3=b，得到b-6+

8

b

=2n-7，得到

8

b

必須為偶數，即b=-1，1，-2，2，-4，4，
又b≥-1（數列的第三項）且b為奇數，得到b=-1或b=1，
進而得到m=1或m=2，
當m=1時，

am•am+1

am+2

=

63

5

=2n-7，解得n不為正整數，不合題意舍去，
所以滿足題意的正整數m的值為2．
故答案為：2

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和公式化簡求值，掌握等差數列的性質，是一道中檔題．