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已知函數數學公式，a∈R．
（1）若函數f（x）是定義在R上的奇函數，求a的值；
（2）若函數數學公式在區間（1，2）恰有一個零點，求實數a的取值范圍．

解：（1 ）函數f（x）是定義在R上的奇函數有
∴
（2）∴f（x）是實數集R上的單調遞增函數
又函數f（x）的圖象不間斷，在區間（1，2）恰有一個零點，有f（1）f（2）＜0
即解之得．
分析：（1）根據定義在R上的奇函數的圖象必過原點，我們可以構造一個關于a的方程，解方程即可得到a的值；
（2）根據已知中函數的解析式，求出其導函數后，易判斷f（x）是實數集R上的單調遞增函數，則根據零點存在定理，我們可以將函數在區間（1，2）恰有一個零點，轉化為一個關于a的不等式，解不等式即可求出實數a的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，及函數零點的判定定理，其中（1）的關鍵是奇函數的圖象必要原點，（2）的關鍵是判斷函數的單調性，進而將問題轉化為一個不等式問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2012-2013學年北京市十一學校高三（上）第四次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ） 記函數y=F（x）的圖象為曲線C．設點A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上的不同兩點，如果在曲線C上存在點M（x，y），使得：①；②曲線C在M處的切線平行于直線AB，則稱函數F（x）存在“中值相依切線”．
試問：函數f（x）是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江西省百所重點高中高三（上）段考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ） 記函數y=F（x）的圖象為曲線C．設點A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上的不同兩點，如果在曲線C上存在點M（x，y），使得：①；②曲線C在M處的切線平行于直線AB，則稱函數F（x）存在“中值相依切線”．
試問：函數f（x）是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省常州高級中學高三（上）12月月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ） 記函數y=F（x）的圖象為曲線C．設點A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上的不同兩點，如果在曲線C上存在點M（x，y），使得：①；②曲線C在M處的切線平行于直線AB，則稱函數F（x）存在“中值相依切線”．
試問：函數f（x）是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年甘肅省天水一中高一（下）第二次段考數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，a∈R．
（1）當a=1時，求函數f（x）的最大值；
（2）如果對于區間上的任意一個x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2013屆廣東省梅州市高二第二學期3月月考理科數學試卷 題型：解答題

 

已知函數  （a∈R）．

 (1)若在[1，e]上是增函數，求a的取值范圍； 

（2）若a=1，1≤x≤e,證明：<.

 

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