Question

已知函數，，．
(1)若，試判斷并證明函數的單調性；
(2)當時，求函數的最大值的表達式．

Answer 1

(1)判斷：若，函數在上是增函數. 用單調性的定義證明即可， (2)   

試題分析：(1)判斷：若，函數在上是增函數.          …………2分
證明：當時，，在區間上任意，設，

所以，即在上是增函數.        …… 7分
(注：用導數法證明或其它方法說明也同樣給7分)
(2)因為，所以…… 9分
①當時，在上是增函數，在上也是增函數，
所以當時，取得最大值為；                   …… 10分
②當時，在上是增函數，
在上是減函數，在上是增函數，
而，
當時，，當時，函數取最大值為；
當時，，當時，函數取最大值為；
綜上得，  ……14分
點評：利用函數的單調性是解決函數最值及值域的最基本的方法，另外函數單調性的定義是證明單調性的最基本的方法，要掌握其步驟