Question

（2013•陜西）已知動點M（x，y）到直線l：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍．
（Ⅰ） 求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，B兩點．若A是PB的中點，求直線m的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由題目給出的條件列式化簡即可得到動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）經分析當直線m的斜率不存在時，不滿足A是PB的中點，然后設出直線m的斜截式方程，和橢圓方程聯立后整理，利用根與系數關系寫出x₁+x₂，x₁x₂，結合2x₁=x₂得到關于k的方程，則直線m的斜率可求．

解答：解：（Ⅰ）點M（x，y）到直線x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍，則
|x-4|=2

(x-1)2+y2

，即（x-4）²=4[（x-1）²+y²]，
整理得

x2

4

+

y2

3

=1．
所以，動點M的軌跡是橢圓，方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）P（0，3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中點，得2x₁=0+x₂，2y₁=3+y₂．
橢圓的上下頂點坐標分別是(0，

3

)和(0，-

3

)，經檢驗直線m不經過這兩點，即直線m的斜率k存在．
設直線m的方程為：y=kx+3．
聯立

y=kx+3 x2 4 + y2 3 =1

，
整理得：（3+4k²）x²+24kx+24=0．
x1+x2=

-24k

3+4k2

，x1x2=

24

3+4k2

．
因為2x₁=x₂．
則

x1

x2

+

x2

x1

=

1

2

+2，得

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

5

2

，
所以

( -24k 3+4k2 )2-2• 24 3+4k2

24 3+4k2

=

5

2

．
即

(-24k)2

(3+4k2)•24

=

9

2

，解得k=±

3

2

．
所以，直線m的斜率k=±

3

2

．

點評：本題考查了曲線方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了學生的計算能力，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式進行求解，是中檔題．