Question

已知過點A（0，1）且方向向量為

a

=(1，k)的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若O為坐標原點，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可設直線l的方程為y=kx+1，聯立直線方程和圓的方程，根據直線與圓有兩個交點，故方程有兩個不等的交點，即△＞0，進而可得實數k的取值范圍；
（2）設出M，N的坐標，由（1）中方程及韋達定理，結合

OM

•

ON

=x₁•x₂+y₁•y₂，可構造關于k的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）直線l過點A（0，1）且方向向量為

a

=(1，k)
∴直線l的方程為y=kx+1
將其代入圓C：（x-2）²+（y-3）²=1得：
（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0…①
若直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點
則△=16（1+k）²-28（1+k²）＞0
解得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由①得

x1+x2= 4+4k 1+k2 x1•x2= 7 1+k2

OM

•

ON

=x₁•x₂+y₁•y₂=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=

4k(1+k)

1+k2

+8=12
∴k=1

點評：本題考查的知識點是平面向量數量積的運算，直線與圓的位置關系，（1）的關鍵是由直線與圓交點的個數判斷聯立所得方程有兩個不等根，（2）的關鍵是根據向量數量積構造關于k的方程．