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（本題14分）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當直線的斜率為1時，求的面積；

（Ⅲ）在線段上是否存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？

若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

(Ⅰ)     (Ⅱ)   （Ⅲ）


解析:

（Ⅰ）由已知，橢圓方程可設為．    ----------------1分

∵ 兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，

∴ ．

所求橢圓方程為．                             ---------------- 3分

（Ⅱ）右焦點，直線的方程為．             ----------------4分

設，

由      得  ，解得 ．-----------6分

∴ ．  ----------------8分

（Ⅲ）假設在線段上存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與軸不垂直，所以設直線的方程為． ----9分

由   可得．    

∴． -------10分

．其中

以為鄰邊的平行四邊形是菱形

     ----12分

∴． ----------------1 4分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2010-2011學年福建省三明市高三上學期三校聯考數學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年江西省六校高三聯考數學理卷 題型：解答題

（（本題滿分14分）

已知橢圓的兩個焦點，且橢圓短軸的兩個端點與構成正三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點（1，0）且與坐標軸不平行的直線與橢圓交于不同兩點P、Q，若在軸上存在定點E（，0），使恒為定值，求的值.

 

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省、華師附中、深圳中學、廣雅中學高三上學期期末數學理卷 題型：解答題

（（本題滿分14分）

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點  在直線上。

（1）求橢圓的標準方程

（2）求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；

（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值。

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本題14分）已知橢圓的兩個焦點，且橢圓短軸的

兩個端點與 構成正三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點（1，0）且與坐標軸不平行的直線與橢圓交于不同兩點P、Q，

若在軸上存在定點E（，0），使恒為定值，求的值.

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