Question

如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為．

（1）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（2）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程。

 

Answer 1

【答案】

(1)根據(jù)已知條件設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，，然后借助于拋物線的導(dǎo)數(shù)來(lái)得到斜率值，．，進(jìn)而解方程，得到證明。

(2)拋物線方程為或．

【解析】

試題分析：（1）證明：由題意設(shè)．

由得，得，所以，．

因此直線的方程為，

直線的方程為．

所以，①  ．②

由①減②得，因此，即．

所以 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．              6分

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：

，，

所以是方程的兩根，

因此，，

又，所以．

由弦長(zhǎng)公式得．

又，所以或，

因此所求拋物線方程為或．    12分

考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用直線與拋物線的相切得到切線的斜率，同時(shí)聯(lián)立方程組求解弦長(zhǎng)，屬于中檔題。