Question

設等比數列{a_n}的各項均為正數，項數為偶數，又知該數列的所有項的和等于所有偶數項和的4倍，而且第二項與第四項的積是第三項與第四項和的9倍．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{lga_n}的前n項和為S_n，求使S_n值最大的正整數n的值．（其中lg2=0.3，lg3=0.4）

Answer 1

分析：（1）首先判斷出公比q≠1，把所有項的和等于所有偶數項和的4倍，而且第二項與第四項的積是第三項與第四項和的9倍．轉化為關于首項和公比的方程組，并求解，得出首項和公比后，根據等比數列通項公式即可求解．
（2）將a_n變形為an=108×(

1

3

)n-1=4×3^4-n，為求和S_n，宜進一步判斷出數列{lga_n}是等差數列，由此S_n，是關于n的二次函數，再利用二次函數的性質求解．

解答：解：（1）由已知q≠1，否則奇數項的和等于偶數項和，數列的所有項的和等于所有偶數項和的2倍，
與已知矛盾．
設數列{a_n}的項數為2k，公比為q，則

a1(1-q2k) 1-q = 4a2(1-(q2)k) 1-q2 ① a2•a4=9(a3+a4)②

解①得q=

1

3

，代入②得a₁=108，
所以數列{a_n}的通項公式為an=108×(

1

3

)n-1．
（2）∵an=108×(

1

3

)n-1=4×3^4-n，
∴lga_n=lg4+（4-n）lg3=2lg2+（4-n）lg3=2.2-0.4n，
∵lga_n+1-lga_n=-0.4，
∴數列{lga_n}是等差數列，首項為1.8，公差為-0.4，
∴S_n=1.8n+

n(n-1)

2

×（-0.4）=-0.2n²+2n=-0.2（n-5）²+5
∴S_n值最大值為5，當n=5時取得．

點評：本題考查數列的通項公式，求和公式，對數的運算，數列的函數性質．考查推理論證、轉化求解能力．