Question

如圖，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．

（Ⅰ）求證：BE//平面ADF；
（Ⅱ）若矩形ABCD的一個邊AB =，EF =，則另一邊BC的長為何值時，二面角B-EF-D的大小為45°？

Answer 1

（Ⅰ）見解析
（Ⅱ）

解（Ⅰ）法1：過點E作CD的平行線交DF于點M，連接AM．
因為CE//DF，所以四邊形CEMD是平行四邊形．可得EM = CD且EM //CD，于是四邊形BEMA也是平行四邊形，所以有BE//AM，而直線BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF．                                   6分

法2：以直線DA為x軸，直線DC為y軸，直線DF為z軸，建立空間直角坐標系．則平面ADF的一個法向量為．
設AB = a，BC = b，CE = c，則點B、E的坐標分別為（b，a，0）和（0，a，c），那么向量．可知，得，而直線BE在平面ADF的外面，所以BE//平面ADF．
（Ⅱ）由EF =，EM =" AB" =，得FM = 3且．
由可得FD = 4，從而得CE =1．     8分
設BC = a，則點B的坐標為（a，，0）．又點E、F的坐標分別為（0，，1）和（0，0，4），所以，．
設平面BEF的一個法向量為，則，解得一組解為，所以．                  10分
易知平面DEF的一個法向量為，可得

由于此時就是二面角B-EF-D的大小，所以，可得．
所以另一邊BC的長為時，二面角B-EF-D的大小為45°．        12分