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已知A、B、C的坐標分別為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(
π
2
，
3π
2
)．
（Ⅰ）若
OC
∥
AB
，O為坐標原點，求角α的值；
（Ⅱ）若
AC
⊥
BC
，求
1+
2
sin(2α-
π
4
)
1+tanα
的值．
分析：（Ⅰ）利用向量共線的坐標運算即可求得角α的值；
（Ⅱ）將所求關系式中的“切”化“弦”，再利用兩角和與差的正弦函數進行化簡，整理即可求得答案．
解答：解：依條件有
AC
=（cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3），
（Ⅰ）由
OC
∥
AB
，得（cosα，sinα）∥（-3，3）⇒-3cosα-3sinα=0，
所以，tanα=-1，
α∈（
π
2
，
3π
2
），
∴α=
3π
4
．
（Ⅱ）由
AC
⊥
BC
得
AC
•
BC
=0，得cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=0，
解得sinα+cosα=
1
3
，兩邊平方得2sinαcosα=-
8
9
，
所以，
1+
2
sin(2α-
π
4
)
1+tanα

=
sin2α+1-cos2α
1+
sinα
cosα

=
2sinαcosα+2sin2α
cosα+sinα
•cosα
=2sinαcosα=-
8
9
．
因此，原式=
8
9
-．
點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查向量共線的坐標運算，考查二倍角公式的應用，考查化歸運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．
（1）若α∈（-π，0），且|
AC
|=|
BC
|，求角α的大小；
（2）若
AC
⊥
BC
，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C的坐標分別為A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）
（Ⅰ）若a∈（-π，0），且|
AC
|=|
BC
|．求角α的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=0．求
2sina+sin2a
1+tana
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．
（Ⅰ）若|
AC
|=|
BC
|，求角α 的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
 的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C的坐標分別為（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），點P的坐標是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，則點P的坐標是
 
．

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