Question

（08年唐山一中一模理）    設f(x) 是定義在R上的減函數，滿足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,數列{a_n}

滿足a₁=4，f(log₃f(-1-log₃=1 (n∈N^*)

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）設S_n是數列{a_n}的前n項和, 試比較S_n與6n²-2的大小.

Answer 1

解析:(Ⅰ)由題設知f(log₃∙f(-1-log₃=1 (n∈N^*)可化為

 

,∵y=f(x)是定義在R上的單調減函數，

∴即

∴數列是以為首項，1為公差的等差數列。∴log₃即a_n=.

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(Ⅱ)S_n=a₁+a₂+a₃+???+a_n =4(1+3¹+3²+???+3^n-1)=2(3ⁿ-1)

當n=1時有S_n=6n²-2=4; 當n=2時有S_n=16<6n²-2=22; 當n=3時有S_n=6n²-2=52;

當n=4時有S_n=160>6n²-2=94; 當n=5時有S_n=484>6n²-2=148.

由此猜想當n≥4時, 有S_n>6n²-23^n-1>n².下面用數學歸納法證明：

①當n=1時顯然成立；

②假設當n=k(k≥4,k∈N^*)時, 有3^k-1>k²; 當n=k+1時，有3^k=3?3^k-1>3k²,

∵k≥4∴k(k-1)≥12, ∴3k²-(k-1)²=2k(k-1)-1>0即3k²>(k+1)², ∴3^k>3k²>(k+1)², ∴3^k>(k+1)²,因此當n=k+1時原式成立.

由①②可知當n≥4時有3^n-1>n²即S_n>6n²-2.

綜上可知當n=1,3時,有S_n=6n²-2；當n=2時,有S_n<6n²-2；當n≥4時,有S_n>6n²-2。………………12分