Question

（2013•安徽）設數列{a_n}滿足a₁=2，a₂+a₄=8，且對任意n∈N^*，函數 f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1cosx-a_n+2sinx滿足f′（

π

2

）=0
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=2（a_n+

1

2an

）求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用導數的運算法則先求出f^′（x），再利用f′(

π

2

)=0，即可得到數列{a_n}是等差數列，再利用已知及等差數列的通項公式即可得出a_n；
（II）利用（I）得出b_n，利用等差數列和等比數列的前n項和公式即可得出S_n．

解答：解：（I）∵f^′（x）=a_n-a_n+1+a_n+2-a_n+1sinx-a_n+2cosx，f′(

π

2

)=0．
∴2a_n+1=a_n+a_n+2對任意n∈N^*，都成立．
∴數列{a_n}是等差數列，設公差為d，∵a₁=2，a₂+a₄=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1．
（II）由（I）可得，bn=2(n+1+

1

2n+1

)=2（n+1）+

1

2n

，
∴S_n=2[2+3+…+（n+1）]+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=2×

n(2+n+1)

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=n2+3n+1-

1

2n

．

點評：數列掌握導數的運算法則、等差數列的通項公式、等差數列和等比數列的前n項和公式是解題的關鍵．