Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙,是⊙的直徑，于點,平分.
（Ⅰ）證明：是⊙的切線
（Ⅱ）如果,求.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）連結OA，由OA=AD知∠OAD＝∠ODA，由平分知，∠BDA=∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，由內錯角相等兩直線平行得OA∥CE，因為AE⊥CE，所以OA⊥AE，故AE是圓O的切線；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，所以＝，即BD＝2AD，所以所以∠ABD＝30°，從而∠DAE＝30°，在直角三角形AED中，求出DE，再由切割線定理得AE²＝ED·EC=ED·（CD+DE），即可求得CD的值.
試題解析：（Ⅰ）連結OA，則OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，
又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥CE．
因為AE⊥CE，所以OA⊥AE．
所以AE是⊙O的切線.                    5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，
所以＝，即＝，則BD＝2AD，
所以∠ABD＝30°，從而∠DAE＝30°，
所以DE＝AEtan30°＝．
由切割線定理，得AE²＝ED·EC，
所以4＝ (＋CD)，所以CD＝.            10分
考點：切線的判定，相似三角形的判定與性質，切割線定理.