Question

已知函數f(x)＝e^ax－x，其中a≠0．

(1)若對一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合．

(2)在函數f(x)的圖像上取定兩點A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))(x₁＜x₂)，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x₀∈(x₁，x₂)，使＞k成立？若存在，求x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)若，則對一切，，這與題設矛盾，又，

　　故．

　　而令

　　當時，單調遞減；當時，單調遞增，故當時，取最小值

　　于是對一切恒成立，當且僅當

　　．①

　　令則

　　當時，單調遞增；當時，單調遞減．

　　故當時，取最大值．因此，當且僅當即時，①式成立．

　　綜上所述，的取值集合為．

　　(Ⅱ)由題意知，

　　令則

　　

　　

　　令，則．

　　當時，單調遞減；當時，單調遞增．

　　故當，即

　　從而，又

　　所以

　　因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使單調遞增，故這樣的是唯一的，且．故當且僅當時，．

　　綜上所述，存在使成立．且的取值范圍為

　　．

提示：

本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想，轉化與劃歸思想等數學思想方法．第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x)1恒成立轉化為，從而得出a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，通過構造函數，研究這個函數的單調性及最值來進行分析判斷．