Question

16、已知真命題：若A為⊙O內一定點，B為⊙O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，則點P的軌跡是

O、A為焦點，OB長為長軸長的橢圓

．類比此命題，寫出另一個真命題：若A為⊙O外一定點，B為⊙O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，則點P的軌跡是

以O，A為焦點，OB為實軸長的雙曲線

．

Answer 1

分析：本題考察的知識點為，利用合情推理，結合橢圓、雙曲線的定義及圓與直線的相關性質，推導新的結論．熟練掌握橢圓、雙曲線的定義及圓與直線的性質是解決問題的關鍵．

解答：解：（1）∵A為⊙O內一定點，B為⊙O上一動點
線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，
則PA=PB，則PA+P0=PB+PO=OB=R
即動點P到兩定點O、A的距離和為定值，
根據橢圓的定義，可得點P的軌跡是：O、A為焦點，OB長為長軸長的橢圓
（2）∵A為⊙O外一定點，B為⊙O上一動點
線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，
則PA=PB，則PA-P0=PB-PO=OB=R
即動點P到兩定點O、A的距離差為定值，
根據雙曲線的定義，可得點P的軌跡是：以O，A為焦點，OB為實軸長的雙曲線

點評：橢圓是平面上到兩定點的距離之和為常值的點之軌跡，也可定義為到定點距離與到定直線間距離之比為常值的點之軌跡．雙曲線是指與平面上兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大于1的常數的點之軌跡．