Question

已知函數f（x）=ln（3-x）+ax+1．
（1）若函數f（x）在[0，2]上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）對函數進行求導，根據導函數大于等于0在[0，2]上恒成立可得答案．
（2）先得出當x∈[0，2]時，

1

x-3

∈[-1，-

1

3

]下面對a進行分類討論：①當a≤

1

3

時，②當

1

3

＜a＜1時，③當a≥1時，分別求得函數f（x）在[0，2]上的最大值，最后在總結即可．

解答：解：f′（x）=

1

x-3

+a
（1）只要在x∈[0，2]上f'（x）≥0恒成立，?a≥

1

3-x

而

1

3-x

∈[

1

3

，1]，∴a≥1                            （5分）
（2）∵當x∈[0，2]時，

1

x-3

∈[-1，-

1

3

]
∴①當a≤

1

3

時，f′（x）≤0，這時f（x）在[0，2]上單調遞減，
f（x）≤f（0）=1+ln3（7分）
②當

1

3

＜a＜1時，令f′（x）=0，可解得x=3-

1

a

，
∵當x∈[0，3-

1

a

]時，有f′（x）＞0
當x∈[3-

1

a

，2]時，有f′（x）＜0，
∴x=3-

1

a

是f（x）在[0，2]上的唯一的極大值，
則f（x）≤f（3-

1

a

）=3a-lna     （10分）
③當a≥1時，f'（x）≥0，這時f（x）在[0，2]上單調遞增，
f（x）≤f（2）=2a+1                  （12分）
綜上所述：f(x)max=

1+ln3 3a-lna 2a+1

(a≤ 1 3 ) ( 1 3 ＜a＜1) (a≥1)

（13分）

點評：本題主要考查利用導數求函數的單調性，考查分離參數法求恒成立問題．本題考查了函數單調性和導數的關系以及利用導數求出最值，第（2）要注意分情況求最值，屬于中檔題．