Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=

2

a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA₁的中點．
（I）求證：CD⊥面ABB₁A₁；
（II）在側棱BB₁上取中點E，求二面角E-A₁C₁-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由面面垂直的性質定理得到AB⊥CD，再由A₁C=CA，D為AA₁的中點得到CD⊥AA₁，由線面垂直的判斷得到結論；
（Ⅱ）首先證明A₁C⊥面ABC，然后以C為原點建立空間直角坐標系，運用平面法向量求解二面角．

解答：（Ⅰ）證明：∵側面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC₁A₁，
又CD?面ACC₁A₁∴AB⊥CD，
又A₁C=CA，D為AA₁的中點，∴CD⊥AA₁，
由AB⊥CD，CD⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）解：∵AA₁=

2

a，A₁C=CA=a，∴A₁C⊥AC，又側面ACC₁A₁⊥面ABC，∴A₁C⊥面ABC
在平面ABC內，過C點作AC的垂線為y軸，AC為x軸，A₁C為z軸建立如圖所示空間坐標系．

不妨取a=1，其則A（1，0，0），B（1，1，0），A₁（0，0，1），C₁（-1，0，1），B₁（0，1，1）
E(

1

2

，1，

1

2

)，

A1C1

=(-1，0，0)；

A1E

=(

1

2

，1，-

1

2

)，
設面A₁C₁E的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • A1C1 =0 n • A1E =0

⇒

-x=0 1 2 x+y- 1 2 z=0

，取z=2，得y=1，∴

n

=(0，1，2)，
又面ACA₁C₁法向量為

AB

=(0，1，0)，
則二面角的余弦為cosθ=

| n • AB |

| n || AB |

=

1

5

=

5

5

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了用空間向量求二面角的大小，用平面法向量求二面角時，注意法向量所成的角是二面角的平面角還是其補角，此題為中檔題．