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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知公差不為0的等差數列{an}的首項a1=a，a∈N*，設數列的前n項和為Sn，且
1
a1
，
1
a2
，
1
a4
成等比數列．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設An=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
，若A2011=
2011
2012
，求a的值．
分析：（I）設等差數列{an}的公差為d，由
1
a1
，
1
a2
，
1
a4
成等比數列可得 (
1
a2
)2=
1
a1
.
1
a4
，化簡可得d=a．所以an=na．
（II）求出Sn，可得
1
Sn
的解析式，用裂項法求得An=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
=
2
a
（1-
1
n+1
），再由A2011=
2011
2012
求出a的值．
解答：解：（I）設等差數列{an}的公差為d，由
1
a1
，
1
a2
，
1
a4
成等比數列可得  (
1
a2
)2=
1
a1
.
1
a4
，化簡得(a1+d)2=a1(a1+3d)，
因為d≠0，所以d=a．所以an=na．------（6分）
（II）∵Sn=a+2a+3a+…+na=
a•n•(n+1)
2
，∴
1
Sn
=
2
a
（
1
n
-
1
n+1
），∴An=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
=
2
a
（1-
1
n+1
），
∵A2011=
2
a
.
2011
2012
=
2011
2012
，
∴a=2．-----（12分）
點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等差數列的通項公式，用裂項法對數列進行求和，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S5=3a5-2，又a1，a2，a5依次成等比數列，數列{bn}滿足b1=-9，bn+1=bn+
k
2
an+1
2
，（n∈N+）其中k為大于0的常數．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）記數列an+bn的前n項和為Tn，若當且僅當n=3時，Tn取得最小值，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•海淀區二模）已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，S3=a4+6，且a1，a4，a13成等比數列．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{
1Sn
}的前n項和公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知公差不為0的等差數列{an}滿足a1，a3，a4成等比數列，Sn為{an}的前n項和，則
S2-S1
S3-S2
的值為
3
2
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•黃州區模擬）已知公差不為0的等差數列{an}的前3項和S3=9，且a1，a2，a5成等比數列．
（1）求數列{an}的通項公式和前n項和Sn
（2）設Tn為數列{
1anan+1
}的前n項和，若Tn≤λan+1對一切n∈N*恒成立，求實數λ的最小值．

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