Question

①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，θ∈（

π

4

，

π

2

），則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ 則α+β＜

π

2

；
③在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要條件；
④要得到函數y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位．
其中是真命題的有

②③

（填寫正確命題題號）

Answer 1

分析：根據偶函數的軸對稱性，可判斷函數的單調性，來判斷f（sinθ）、f（cosθ）的大小；利用三角函數的單調區間，由函數值的大小，判斷角的大小．

解答：解：∵θ∈（

π

4

，

π

2

），1＞sinθ＞cosθ＞0，∵f（x）是[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，∴f（x）在[0，1]上是減函數，∴f（sinθ）＜f（cosθ），∴①×；
∵α、β為銳角，

π

2

-α為銳角，cosα=sin（

π

2

-α）＞sinβ，y=sinx在[0，

π

2

]遞增，∴

π

2

-α＞β，α+β＜

π

2

，②√；
∵在△ABC中，若A＜

π

2

，∵

π

2

＞A＞B＞0⇒sinA＞sinB；若A＞

π

2

，∵A+B＜π，∴0＜B＜π-A＜

π

2

，sinB＜sinA，∴滿足充分性；
反過來sinA＞sinB，若A、B∈（0，

π

2

]，A＞B；若A、B有一個為鈍角，設B＞

π

2

，sinA＞sinB=sin（π-B），A+B＞π與△ABC中，A+B+C=π矛盾，∴B＜

π

2

，∴A為鈍角，A＞B，滿足必要性．③√：
∵函數y=sin（

x

2

-

π

4

）=sin

1

2

（x-

π

2

）可由y=sin

x

2

向左平移

π

2

單位或向右平移4kπ-

π

2

個單位得到，∴④×
故答案是②③

點評：本題考查三角函數的性質及應用、圖象變化規律、及充要條件的判斷等知識，尤其是充要條件的判斷，既要判斷充分性，又要判斷必要性．另三角函數單調性的應用一定要討論角的范圍．