Question

某工廠有216名工人接受了生產1000臺GH型高科技產品的總任務，已知每臺GH型產品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成．每個工人每小時能加工6個G型裝置或3個H型裝置．現將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置．設加工G型裝置的工人有x人，他們加工完G型裝置所需時間為g（x），其余工人加工完H型裝置所需時間為h（x）（單位：小時，可不為整數）．
（1）寫出g（x），h（x）的解析式；
（2）比較g（x）與h（x）的大小，并寫出這216名工人完成總任務的時間f（x）的解析式；
（3）應怎樣分組，才能使完成總任務用的時間最少？

Answer 1

（1）由題意知，需加工G型裝置4000個，加工H型裝置3000個，所用工人分別為x人，（216-x）人．
∴g（x）=

4000

6x

，h（x）=

3000

(216-x)•3

，
即g（x）=

2000

3x

，h（x）=

1000

216-x

（0＜x＜216，x∈N^*）．
（2）g（x）-h（x）=

2000

3x

-

1000

216-x

=

1000•(432-5x)

3x(216-x)

．
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
當0＜x≤86時，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
當87≤x＜216時，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f(x)=

2000 3x ，0＜x≤86，x∈N+ 1000 216-x ，87≤x≤216，x∈N+

（3）完成總任務所用時間最少即求f（x）的最小值．
當0＜x≤86時，f（x）遞減，
∴f（x）≥f（86）=

2000

3×86

=

1000

129

．
∴f（x）_min=f（86），此時216-x=130．
當87≤x＜216時，f（x）遞增，
∴f（x）≥f（87）=

1000

216-87

=

1000

129

．
∴f（x）_min=f（87），此時216-x=129．
∴f（x）_min=f（86）=f（87）=

1000

129

．
∴加工G型裝置，H型裝置的人數分別為86、130或87、129．