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函數f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的圖象過點（8，2）和（1，-1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值時x的值．

解：（Ⅰ）由得，
解得m=-1，a=2，故函數解析式為f（x）=-1+log2x，
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log2x）-[-1+log2（x-1）]=，其中x＞1，
因為
當且僅當即x=2時，“=”成立，
而函數y=log2x在（0，+∞）上單調遞增，則，
故當x=2時，函數g（x）取得最小值1．
分析：（1）根據題意，將點的坐標代入即可；（2）先求出g（x）的表達式，觀察到函數是復合函數，故應該先研究真數的范圍再利用對數函數的單調性求出最值．
點評：該題目第一問是送分的，第二問比較有難度，解題時應該注意復合函數的最值拆分開來求：本題先分離常數利用基本不等式求真數的范圍，利用對數函數的單調性求出最值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下列四個命題：
①若m∈（0，1]，則函數f（x）=m+
3
m
的最小值為2
3

②已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，則α∥β
③△ABC中，
AB
和
CA
的夾角等于180°-A
④若動點P到點F（1，0）的距離比到直線l：x=-2的距離小1，則動點P的軌跡方程為y2=4x．
其中正確命題的序號為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•煙臺一模）設函數f（x）=m（x-
1
x
）-21nx，g（x）=
2e
x
（m是實數，e是自然對數的底數）．
（1）當m=2e時，求f（x）+g（x）的單調區間；
（2）若直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象相切于點（1，0），求m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）=數學公式m（x-1）2-2x+3+lnx（m≥1）．
（Ⅰ）當數學公式時，求函數f（x）在區間[1，3]上的極小值；
（Ⅱ）求證：函數f（x）存在單調遞減區間[a，b]；
（Ⅲ）是否存在實數m，使曲線C：y=f（x）在點P（1，1）處的切線l與曲線C有且只有一個公共點？若存在，求出實數m的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：三亞模擬 題型：填空題

下列四個命題：
①若m∈（0，1]，則函數f（x）=m+
3
m
的最小值為2
3

②已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，則α∥β
③△ABC中，
AB
和
CA
的夾角等于180°-A
④若動點P到點F（1，0）的距離比到直線l：x=-2的距離小1，則動點P的軌跡方程為y2=4x．
其中正確命題的序號為______．

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科目：高中數學 來源：2011年福建省莆田市高三適應性練習數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）=m（x-1）2-2x+3+lnx（m≥1）．
（Ⅰ）當時，求函數f（x）在區間[1，3]上的極小值；
（Ⅱ）求證：函數f（x）存在單調遞減區間[a，b]；
（Ⅲ）是否存在實數m，使曲線C：y=f（x）在點P（1，1）處的切線l與曲線C有且只有一個公共點？若存在，求出實數m的值，若不存在，請說明理由．

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