Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示．點E、F分別為棱PC，CD的中點．

(1)求證：平面OEF∥平面APD；

(2)求證：CD⊥平面POF；

(3)在棱PC上是否存在一點M，使得M到P，O，C，F四點距離相等？請說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）存在

【解析】(1)證明：因為點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.

因為AB＝BC，所以O是AC的中點，

所以OE∥PA.

同理OF∥AD.

又OE∩OF＝O，PA∩AD＝A，

所以平面OEF∥平面PDA.

(2)證明：因為OF∥AD，AD⊥CD，

所以OF⊥CD.

又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC，

所以PO⊥CD.

又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF.

(3)存在，事實上記點E為M即可．

因為CD⊥平面POF，PF?平面POF，

所以CD⊥PF.

又E為PC的中點，所以EF＝PC，

同理，在直角三角形POC中，EP＝EC＝OE＝PC，

所以點E到四個點P，O，C，F的距離相等．