Question

(本小題滿分13分)

給出定義在(0，＋∞)上的三個函數：，，，已知在x＝1處取極值.

（Ⅰ）確定函數h(x)的單調性；

（Ⅱ）求證：當時，恒有成立；

（Ⅲ）把函數h(x)的圖象向上平移6個單位得到函數h₁(x)的圖象，試確定函數y＝g(x)－h₁(x)的零點個數，并說明理由.

Answer 1

（1）h(x)在(1，+∞)上是增函數，在(0，1)上是減函數（2）見解析（3）見解析

解析:

（Ⅰ）由題設，，則.             （1分）

由已知，，即.                      （2分）

于是，則.                      （3分）

由，所以h(x)在(1，+∞)上是增函數，在(0，1)上是減函數.（4分）

（Ⅱ）當時，，即.                     （5分）

欲證，只需證，即證.   （6分）

設，

則.

當時，，所以在區間(1，e²)上為增函數.           （7分）

從而當時，，即，故.    （8分）

（Ⅲ）由題設，.令，則

，即.                     （9分）

設，，則

，由，得x＞4.

所以在(4，＋∞)上是增函數，在(0，4)上是減函數.                        

又在(0，)上是增函數，在(，＋∞)上是減函數.

因為當x→0時，，.

又，，，

，則函數與的大致圖象如下：                    （12分）

 

由圖可知，當x＞0時，兩個函數圖象有2個交點，故函數y＝g(x)－h₁(x)有2個零點.（13分）