Question

設正數列a₀，a₁，a₂，…，a_n，…滿足

anan-2

-

an-1an-2

=2a_n-1，（n≥2）且a₀=a₁=1，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：由已知可得得：

an an-1

=2

an-1 an-2

+1，令

an an-1

+1=b_n，則得b_n=2b_n-1．結合等比數列的通 項公式即可求解

解答：解：由已知變形，同除以

an-1an-2

得：

an an-1

=2

an-1 an-2

+1，
令

an an-1

+1=b_n，則得b_n=2b_n-1．
即{b_n}是以b₁=

1 1

+1=2為首項，2為公比的等比數列．
∴b_n=2ⁿ．
∴

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
∴

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
∴

a1

a0

=(2-1)2

a2

a1

=(22-1)2
…

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
以上式子相乘可得，

an

a0

=[（2-1）（2²-1）…（2ⁿ-1）
∴a_n=（2ⁿ-1）²（2^n-1-1）²…（2-1）²（n≥1），a₀=1

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列求解數列的通項公式，解題的關鍵是對已知遞推公式的靈活變形