Question

設{an}與{bn}是兩個等差數列，且 a1+a2…+an b1+b2…+bn = 3n+1 4n+3 對任意自然數n∈N+都成立，      那么 an bn =

6n-2

8n-1

．

Answer 1

分析：利用等差數列的前n項和公式化簡已知等式左邊的分子與分母，約分后再利用等差數列的性質化簡，然后設

n+1

2

=t，則有n=2t-1，代入后可表示出

at

bt

的比值，即為

an

bn

的比值．

解答：解：∵a₁+a₂+…+a_n=

n(a1+an)

2

，b₁+b₂+…+b_n=

n(b1+bn)

2

，
且兩數列{a_n}和{b_n}都為等差數列，
∴

a1+a2+…+an

b1+b2+…+bn

=

n(a1+an)  2

n(b1+bn)  2

=

a1+an

b1+bn

=

2a n+1 2

2b n+1 2

=

a n+1 2

b n+1 2

，
又

a1+a2+…+an

b1+b2+…+bn

=

3n+1

4n+3

，
∴

a n+1 2

b n+1 2

=

3n+1

4n+3

，
設

n+1

2

=t，則有n=2t-1，
∴

a n+1 2

b n+1 2

=

at

bt

=

3(2t-1)+1

4(2t-1)+3

=

6t-2

8t-1

，
則

an

bn

=

6n-2

8n-1

．
故答案為：

6n-2

8n-1

點評：此題考查了等差數列的性質，以及等差數列的前n項和公式，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．