Question

（2011•昌平區二模）已知函數f(x)=

3

sin2x+2cos2x．
（I） 求f(

π

3

)；
（II）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和差的正弦公式的應用，二倍角公式，化簡函數f（x）的解析式為 2sin(2x+

π

6

)+1，由此求得f(

π

3

)的值．
（II）根據函數f（x）的解析式求出周期，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，解得x的范圍，即得函數的單調遞增區間．

解答：解：（I）依題意f（x）=

3

sin2x+2•

cos2x+1

2

   （2 分）
=

3

sin2x+cos2x+1．（3分）
=2sin(2x+

π

6

)+1．（5分）
∴f(

π

3

)=2sin(

2π

3

+

π

6

)+1=2．（7分）
（II）設函數f（x）的最小正周期為T，則 T=π．（9分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，解得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)，
∴函數的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，k∈z．（13分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，二倍角公式，正弦函數的單調性和周期性，化簡函數f（x）的解析式為 2sin(2x+

π

6

)+1，是解題的關鍵．