Question

已知a、b、c是平面α內相交于一點O的三條直線，而直線l和α相交，并且和a、b、c三條直線成等角．

求證：l⊥α

Answer 1

解析:

證法一：分別在a、b、c上取點A、B、C并使AO = BO = CO．設l經過O，在l上取一點P，在△POA、△POB、△POC中，

∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC，

∴ △POA≌△POB≌△POC

∴ PA = PB = PC．取AB中點D．連結OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB，

∵

∴ AB⊥平面POD

∵ PO平面POD．

∴ PO⊥AB．

同理可證  PO⊥BC

∵ ，，

∴ PO⊥α，即l⊥α

若l不經過O時，可經過O作∥l．用上述方法證明⊥α，

∴ l⊥α．

證法二：采用反證法

假設l不和α垂直，則l和α斜交于O．

同證法一，得到PA = PB = PC．

過P作于，則，O是△ABC的外心．因為O也是△ABC的外心，這樣，△ABC有兩個外心，這是不可能的．

∴ 假設l不和α垂直是不成立的．

∴ l⊥α

若l不經過O點時，過O作∥l，用上述同樣的方法可證⊥α，

∴ l⊥α

評述：（1）證明線面垂直時，一般都采用直接證法（如證法一），有時也采用反證法（如證法二）或同一法．