Question

如圖在直角坐標系xoy中，圓O與x軸交于A、B兩點，且|AB|=4，定直線l垂直于x軸正半軸，且到圓心O的距離為4，點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交l于點M、N．
（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓的方程；
（2）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內一定點．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得圓O方程為x²+y²=4，直線l的方程為x=4．由∠PAB=30°算出直線AP、BP的方程，將x=4分別代入，可得M（4，2

3

）、N（4，-2

3

），由此即可算出以MN為直徑的圓的方程；
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），由圓O的方程可得y₀²=4-x₀²．算出直線AP、BP以x₀、y₀為參數的方程，從而得到點M、N以x₀、y₀為參數的坐標，算出|MN|=

4|x0-4|

|y0|

且MN的中點坐標為（4，-

4(1-x0)

y0

）．由此利用垂徑定理加以計算，得到以MN為直徑的圓截x軸的線段長為4

3

，從而可得該圓經過圓O內的定點C(4-2

3

，0)．

解答：解：（1）∵圓O的圓心為原點O，直徑|AB|=4，
∴圓O的半徑r=2，可得圓O方程為x²+y²=4，
∵定直線l垂直于x軸正半軸，且到圓心O的距離為4，∴直線l的方程為x=4，
由∠PAB=30°，可得直線AP的斜率k=tan30°=

3

3

，所以直線AP的方程為y=

3

3

 （x+2），
∵AB是圓O的直徑，
∴AP⊥BP，可得直線BP的斜率k'=

-1

k

=-

3

，直線BP的方程為y=-

3

（x-2）．
將x=4分別代入直線AP、BP方程，可得M（4，2

3

）、N（4，-2

3

）．
∴MN的中點坐標為（4，0），且MN=4

3

．
∴以MN為直徑的圓，圓心為（2，0），半徑R=2

3

，可得它的方程為（x-4）²+y²=12．
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4 （y₀≠0），可得y₀²=4-x₀²，
∵直線AP的方程為y=

y0

x0+2

（x+2），直線BP的方程為y=

y0

x0-2

（x-2），
將x=4代入，可得M的縱坐標y_M=

6y0

x0+2

，N的縱坐標y_N=

2y0

x0-2

．
∴M（4，

6y0

x0+2

）、N（4，

2y0

x0-2

），
可得|MN|=|

6y0

x0+2

-

2y0

x0-2

|=

4|x0-4|

|y0|

，
且MN的中點坐標為（4，-

4(1-x0)

y0

）．
由此可得以MN為直徑的圓，圓心為（4，-

4(1-x0)

y0

），
半徑等于

2|x0-4|

|y0|

，
由垂徑定理，可得此圓截x軸的線段長度為：
|CD|=2

4(x0-4)2 y02 - 16(1-x0)2 y02

=

4

|y0|

•

12-3x02

=

4 3

|y0|

•

4-x02

=4

3

（定值）．
又∵直線MN經過x軸上的定點Q（4，0），Q為線段CD的中點，
∴以MN為直徑的圓必過圓O內的定點C(4-2

3

，0)．

點評：本題給出以原點為圓心的圓和直線l上的點M、N滿足的條件，求以MN為直徑的圓的方程及其性質．著重考查了求圓的標準方程、直線和圓的位置關系和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．