Question

已知(x+

1

2 x

)n的展開式中前三項的系數成等差數列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（I）利用二項展開式的通項公式求出展開式前三項的系數，列出方程求出n．
（II）設出系數最大的項，據最大的系數大于等于它前一項的系數同時大于等于它后一項的系數，列出不等式組求出r，求出系數最大的項．

解答：解：（Ⅰ）由題設，得

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，
即n²-9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）．
（Ⅱ）設第r+1的系數最大，則

1 2r C r 8 ≥ 1 2r+1 C r+1 8 1 2r C r 8 ≥ 1 2r-1 C r-1 8 .

即

1 8-r ≥ 1 2(r+1) 1 2r ≥ 1 9-1 .

解得r=2或r=3．
所以系數最大的項為T₃=7x⁵，T4=7x

7

2

．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題；考查二項展開式中系數最大項的求法．