Question

(本小題滿分1 2分)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(一1，1)，P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．

(I)求點P的軌跡C的方程；

(Ⅱ)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M，試探究：點M的橫坐標是否為定值?并說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）設點為所求軌跡上的任意一點，則由得

，·························· 2分

 

整理得軌跡的方程為（且），…4分

（Ⅱ）（方法一）設，

由可知直線，則，

故，即，…………………6分

由三點共線可知，與共線，

∴　，

由（Ⅰ）知，故，··················· 8分

同理，由與共線，

∴　，即，

由（Ⅰ）知，故，·········· 10分

將，代入上式得，

整理得，

由得，即點M的橫坐標為定值．··········   12分

（方法二）

設

由可知直線，則，

故，即，················· 6分

∴直線方程為：   ①；·················· 8分

直線的斜率為：，　　                   

∴直線方程為：，即  ②；· 10分

聯立①②，得，∴點的橫坐標為定值．·········· 12分

 

【解析】略