Question

23、課本小結與復習的參考例題中，給大家分別用“綜合法”，“比較法”和“分析法”證明了不等式：已知a，b，c，d都是實數，且a²+b²=1，c²+d²=1，則|ac+bd|≤1．這就是著名的柯西（Cauchy．法國）不等式當n=2時的特例，即（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號當且僅當ad=bc時成立．
請分別用中文語言和數學語言簡潔地敘述柯西不等式，并用一種方法加以證明．

Answer 1

分析：根據柯西不等式的內容即：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），結合文字語言表述，最后利用基本不等式進行證明即可得出正確答案．

解答：解：數學語言簡潔地敘述柯西不等式：
a，b，c，d∈R，有：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號當且僅當ad=bc時成立；
中文語言簡潔地敘述柯西不等式：
兩個實數的平方和的積 不小于它們積的和的平方．取等號的條件是兩列數對應成比例．
二維形式的證明：（a²+b²）（c²+d²）（a，b，c，d∈R）=a²•c²+b²•d²+a²•d²+b² •c²
=a²•c²+2abcd+b²•d²+a²•d² -2abcd+b²•c²
=（ac+bd）²+（ad-bc）² 2≥（ac+bd） ²，
等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立．

點評：本題主要考查了二元形式的柯西不等式的內容與形式，柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視．