Question

已知集合M={}，若對于任意，存在，使得成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合：
①M={}；
②M={}；
③M={}；
④M={}． 
其中是“垂直對點集”的序號是                   ；

Answer 1

②④ 

試題分析：對于①是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足“垂直對點集”的定義；在另一支上對任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不滿足“垂直對點集”的定義，不是“垂直對點集”．
對于②M={（x，y）|y=sinx+1}，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足“垂直對點集”的定義，所以M是“垂直對點集”；
對于③M={（x，y）|y=log₂x}，取點（1，0），曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以集合M不是“垂直對點集”．
對于④M={（x，y）|y=e^x-2}，如下圖紅線的直角始終存在，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-1），則N（ln2，0），滿足“垂直對點集”的定義，所以是“垂直對點集”；正確．

所以②④正確．