Question

已知函數(shù)，R.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存

在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間

為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間. （2）存在，范圍為

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的定義域為，.  

① 當時，，∵ ∴，∴ 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為 

② 當時，令得，即，.

（ⅰ）當，即時，得，故，

∴ 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.                     

（ⅱ）當，即時，方程的兩個實根分別為，.

若，則，此時，當時，.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，若，則，此時，當時，，當時， 

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間

為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）由(1)得當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極值

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

∴有極大值，其值為，其中.

∵，即， ∴.

設(shè)函數(shù)，則，

∴在上為增函數(shù)，又，則，

∴.  

即，結(jié)合解得，∴實數(shù)的取值范圍為.

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，突出分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的滲透與應用，屬于難題，第二題把有正的極大值的問題轉(zhuǎn)化為圖象開口向下與X軸有兩個交點，思路巧妙，學習中值得借鑒．