Question

已知函數

(I)若直線l₁交函數f(x)的圖象于P,Q兩點，與l₁平行的直線與函數的圖象切于點R,求證 P,R,Q三點的橫坐標成等差數列;

(II)若不等式恒成立,求實數a的取值范圍；

(III)求證:〔其中, e為自然對數的底數）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），設切點R(x₀，y₀)

則．

令l₂：y=(-4x₀+4)x+b．

聯立  消去y得 2x²-4x₀x+b=0．

令P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁+x₂=2x₀，

即R、R、Q三點的橫坐標成等差數列．  ……………………………………4分

（Ⅱ）由已知有f (x)+g(x)-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，

令F(x)=2x²-alnx(x>0)，

則.

由，得.

當0<x<時，F(x)在區間(0，)上遞減；

當時，，F(x)在區間(，+∞)上遞增．

∴ ≥0，得0<a≤4e．……………………………9分

（Ⅲ）由（2）知當a=2e時有2x²-2elnx≥0，得≤

∴

≤

<

=

<．

【解析】略