Question

已知函數
（Ⅰ）若函數在其定義域上為單調函數,求的取值范圍；
（Ⅱ）若函數的圖像在處的切線的斜率為0，，已知求證：
（Ⅲ）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明理由.      

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

試題分析：（Ⅰ）利用導數求解單調性，把恒成立轉化為最值；（Ⅱ）可用數學歸納法來證明；（Ⅲ）通過放縮法來解決與的大小比較問題.
試題解析：(Ⅰ) ∵f(1)="a-b=0" ∴a=b
∴
∴
要使函數在其定義域上為單調函數，則在定義域（0，+∞）內恒大于等于0或恒小于等于0，
當a=0時，在（0，+∞）內恒成立；
當a>0時， 恒成立，則∴
當a<0時， 恒成立
∴a的取值范圍是:       5分
(Ⅱ)   ∴a=1   則：
于是
用數學歸納法證明如下：
當n=1時，，不等式成立；
假設當n=k時，不等式成立，即也成立，
當n=k+1時，
所以當n=k+1時不等式成立，
綜上得對所有時，都有         10分
（Ⅲ）由（2）得

于是
所以 ，
累稱得：則
所以    13分