Question

（本小題滿分14分）已知函數（為常數，）.
（Ⅰ）若是函數的一個極值點，求的值；
（Ⅱ）求證：當時，在上是增函數；
（Ⅲ）若對任意的（1，2），總存在，使不等式成立，求實數的取范圍.

Answer 1

（Ⅰ）滿足條件；（Ⅱ）在上是增函數；（Ⅲ）實數的取值范圍為.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。以及不等是的求解，和函數單調性的判定的綜合運用。
（1）因為
由已知，得即， 得到a的值，
（2）當時， 
當時，.又，故在上是增函數
（3）當時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為
于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.
利用構造函數得到結論。
解：……………1分
（Ⅰ）由已知，得即，……3分
經檢驗，滿足條件.……………………………………4分
（Ⅱ）當時，…………5分
當時，.又，故在上是增函數
（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為
于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.
記
則…………………………9分
當時，有，且在區間（1，2）上遞減，且，則不可能使恒成立，故必有…………11分
當，且
若，可知在區間上遞減，在此區間上有，與恒成立矛盾，故，這時，即在（1，2）上遞增，恒有滿足題設要求.
，即，所以，實數的取值范圍為.……………………14分