Question

已知數列{a_n}的前n項的“均倒數”（即平均數的倒數）為

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）已知b_n=tan（t＞0），數列{b_n}的前n項為S_n，求

lim

n→∞

Sn+1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（1）通過數列{a_n}的前n項的“均倒數”（即平均數的倒數）為

1

2n+1

，求出a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1）
推出a_n=4n-1，然后求出通項公式；
（2）利用b_n=tan（t＞0），求出數列{b_n}的前n項為S_n，然后對t=1，t＞1，0＜t＜1分類討論，分別求出極限值即可．

解答：解：（1）數列{a_n}的前n項的“均倒數”（即平均數的倒數）為

1

2n+1

，
所以a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
兩式相減，得 a_n=4n-1，n≥2，a₁=3∴a_n=4n-1n∈N
（2）因為b_n=tan（t＞0），b_n=t^4n-1，S_n=t³+t⁷+…+t^4n-1（t＞0），
當t=1時，S_n=n，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=1；
當t＞1時，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

1-t4n+4

1-t4n

=t4；
當0＜t＜1時，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=1．
綜上得，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

1  (0＜t≤1) t4   (t＞1)

點評：本題是中檔題，考查數列通項公式的應用，通項公式的求法，分類討論的思想，極限的求法，考查計算能力，注意通項公式求解時，n=1的驗證．