Question

設(shè)x，y∈R，、為直角坐標(biāo)系內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若=x+（y+2），=x+（y-2）且²+²=16．
（1）求點(diǎn)M（x，y ）的軌跡C的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在直線l使四邊形OAPB為正方形？若存在，求出l的方程，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，即可求得點(diǎn)M（x，y ）的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵=x+（y+2），=x+（y-2）且²+²=16，為直角坐標(biāo)系內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，
∴x²+（y+2）²+x²+（y-2）²=16
∴點(diǎn)M（x，y ）的軌跡C的方程是x²+y²=4；
（2）假設(shè)存在直線l，設(shè)方程為y=kx+3，代入x²+y²=4可得（1+k²）x²+6kx+5=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁•x₂=
由題意，，則x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴x₁•x₂+k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=0
∴++3k•（-）+9=0
∴k=
∴存在l且l的方程為y=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查數(shù)量積公式的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．