Question

已知函數f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x-cos²x+2

3

sinx•cosx
（1）求函數f（x）的單調減區間；       
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最值；
（3）若f（α）=

1

7

，2α是第一象限角，求sin2α的值．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的三角函數以及二倍角公式化簡函數為一個角的一個三角函數的形式．
（1）通過正弦函數的單調減區間求函數f（x）的單調減區間；       
（2）通過x∈[0，

π

2

]，求出相位的范圍，然后求f（x）的最值；
（3）利用f（α）=

1

7

，2α是第一象限角，求出cos（2α-

π

6

）=

4 3

7

，利用sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]，求解它的值

解答：解：f（x）=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x-cos2x+

3

sin2x        …（2分）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）                            …（3分）
（1）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ          …（5分）
∴f（x）的減區間是[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）                    …（6分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（7分）
∴當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，f（x）_min=-

1

2

，…（8分）
當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）_max=1                      …（9分）
（3）f（α）=sin（2α-

π

6

）=

1

7

，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜

π

2

+2kπ
∴2kπ-

π

6

＜2α-

π

6

＜

π

3

+2kπ，∴cos（2α-

π

6

）=

4 3

7

，…（11分）
∴sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]=sin（2α-

π

6

）•cos

π

6

+cos（2α-

π

6

）•sin

π

6

   …（12分）
=

1

7

×

3

2

+

4 3

7

×

1

2

=

5 3

14

                              …（14分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，二倍角公式的應用三角函數的單調性與最值的求法，考查轉化思想與計算能力．