Question

設函數f（x）是R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）證明f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設 x＜0，則-x＞0，利用x≥0時的解析式，根據奇偶性就可求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導函數，利用導數大于0，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：設x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
又∵f（x）在R上為奇函數
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x
∴f（x）=

x2+4x，x≥0 -x2+4x，x＜0

；
（Ⅱ）證明：當x＞0時，f（x）=x²+4x，則f′（x）=2x+4＞0
∴f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．

點評：本題考查利用函數奇偶性求對稱區間上的函數解析式，考查函數的單調性，屬于中檔題．