Question

（2012•黃山模擬）已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．
（Ⅰ）證明數列{a_n+1-a_n}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}的前n項和為S_n，且對一切n∈N^*，都有

b1

a1

+

b2

2a2

+…+

bn

nan

=2n+1成立，求S_n．

Answer 1

分析：（I ）由a_n+1=4a_n-3a_n-1可得a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1），故而=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，結合等比數列的求和公式可求a_n
（II）由

b1

a1

+

b2

2a2

+…+

bn

nan

=2n+1可求bn=2n×3n-1，利用錯位相減可求和s_n

解答：（I）證明：由a_n+1=4a_n-3a_n-1可得a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1）
所以數列{a_n+1-a_n}是以2為首項，3為公比的等比數列 …（3分）
故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=

2(1-3n-1)

1-3

+1=3n-1…（6分）
（II）解：由 

b1

a1

+

b2

2a2

+…+

bn

nan

=2n+1可知
當n=1時，

b1

a1

=3，b₁=3，S₁=3
當n≥2時，

bn

nan

=2n+1-(2n-1)=2，bn=2n×3n-1…（8分）Sn=b1+b2+…+bn=3+2×2×3+2×3×32+…2×n×3n-1
=2（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…n×3^n-1）+1
設x=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1
3x=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ
∴2x=n×3ⁿ-（3^n-1+3^n-2+…3⁰）=n×3n-

3n-1

2

Sn=(n-

1

2

)×3n+

3

2

…（11分）
綜上Sn=(n-

1

2

)×3n+

3

2

，n∈N*…（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列求解通項公式，而數列求和的錯位相減是數列求和的重點與難點，要注意掌握