Question

已知拋物線y=x²，直線y=kx+2，直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積記為S（k）．
（1）當k=1時，求出此時S（k）對應的值；
（2）寫出S（k）的表達式，并求出對應的最大和最小值．

Answer 1

分析：（1）先將兩曲線聯立，求得交點橫坐標，用來確定積分區間，再根據定積分的幾何意義，將所求面積轉化為求定積分問題，最后由微積分基本定理計算結果即可
（2）先將兩曲線聯立，得曲線交點的橫坐標x₁、x₂，從而得x₁-x₂，x₁+x₂，x₁x₂的值（用k表示），再根據定積分的幾何意義，將所求面積轉化為求定積分問題，最后由微積分基本定理計算，將結果用x₁-x₂，x₁+x₂，x₁x₂表示，代入即可得函數S（k）的表達式，最后利用換元法求函數的值域即可

解答：解：（1）將y=x+2代入y=x²，得x=-1或x=2
∴S（1）=∫_-1²（x+2-x²）dx=（

x2

2

+2x-

1

3

x3）|_-1²=（2+4-

8

3

）-（

1

2

-2+

1

3

）=

9

2

∴S（1）=

9

2

（2）將y=kx+2代入y=x²，得x₁=

k- k2+8

2

或x₂=

k+ k2+8

2

，
∴x₁-x₂=-

k2+8

，x₁+x₂=k，x₁x₂=-2
∴S（k）=

∫

x2 x1

(kx+2-x2)dx=（

kx2

2

+2x-

1

3

x3）

|

x1 x2

=（

kx 12

2

+2x₁-

1

3

x₁³）-（

kx 22

2

+2x₂-

1

3

x₂³）=（x₁-x₂）[

k

2

（x₁+x₂）+2-

(x1+x2)2-x1x2

3

]=-

k2+8

（

k2

2

+2-

k2+2

3

）=-

(k2+8) 3

6

設t=

k2+8

，則t≥2

2

，則y=

t3

6

≥

(2 2 )3

6

=

8 2

3

∴S（k）=-

(k2+8) 3

6

，此函數的最小值為

8 2

3

，無最大值

點評：本題綜合考查了定積分的幾何意義，利用微積分基本定理求定積分的方法，一元二次方程根與系數的關系及其應用