Question

如圖已知，橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若∠AF₁F₂=60°，且，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為在焦點三角形AF₁F₂中，，所以∠F₁AF₂=90°，又因為∠AF₁F₂=60°，所以的三邊關系可以找到，根據三邊關系，可求出含a，c的齊次式，進而求出離心率．
（II）若，則橢圓方程為兩個，可以是焦點在x軸上，也可焦點在y軸上，分別寫出方程，在與設出的直線l方程聯立，找到橫坐標之和與之積，用坐標表示，根據前面所求，得到含k的方程，再求出最值即可．
解答：解：（I）∵，∴AF₁⊥AF₂∵∠AF₁F₂=60°，∴F₁F₂=2AF₁，------（3分）
∴2a=AF₁+AF₂，2c=F₁F₂∴------（6分）
（II）∵，∴c=1，點F₁（-1，0），F₂（1，0）．
①若AB垂直于x軸，則，------（8分）
②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，
則直線AB的方程為 y=k（x+1）
由消去y得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0∵△=8k²+8＞0，∴方程有兩個不等的實數根．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∴，------（10分）
∴=（1+k²）（x₁x₂+x₁+x₂+1）==-------（12分）
∵，∴
∴------（14分）
綜合①、②可得：．
所以當直線l垂直于x時，取得最大值；當直線l與x軸重合時，取得最小值-1------（15分）
點評：本題考查了利用焦點三角形三邊關系求橢圓方程，以及橢圓與向量相結合求最值，注意解題過程中，設而不求思想的應用．